FUNCIONES INVERSAS

Si se tiene la  función f(x)=3x +1,0 f(4) se  halla por sustitución:

f(4)= 3(4) +1=13.

Dicho en otra forma, dado un valor de X se puede hallar un valor Y. Supóngase, sin embargo que se da un valor de y ¿puede hallarse el valor correspondiente de x? Con la función anterior, la respuesta es SI. En particular, si se da y= -5 simplemente se resuelve la ecuación

-5= 3x +1

-6=3x

-2=x

En esta sección se desea investigar el problema general de resolver y= f(X) para x.  Además esta sección se desea  que la solución sea un solo numero real x bien definido para cualquier y dada. En breve se dirá como hacer esto y cuando se puede hacer.

EJEMPLO:

Resuelva la ecuación y= f(X) = 3x +1 para x

SOLUCION

Se resuelve la ecuación para x

Y-1=3X

Y-1=  x

3

Al utilizar x y y como variables se acostumbra tomar  por la variable independiente.

Asi en el ejemplo 1 se pueden intercambiar x y y , dando finalmente por resultado la ecuación

x-1=  y

  3

Esa es la razón de ser del segundo paso en las reglas dadas a continuación para hallar la inversa de una función.

¿COMO HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCION?

A)     Y= F(x) ES DADA

B)      Se intercambian x y y para obtener x= f(Y)

C)      Se resuelva para y y la solución se escribe como y= f-1(x). A f-1 se le llama FUNCION INVERSA

Sustituyendo el valor  del enciso c) en la ecuación en el mismo b) se obtiene

X=f(Y) = f(f-1(X))

Más adelante se utilizara esta forma. No debe perderse de vista el hecho de que el -1 (X) no es un exponente; esto quiere decir que f-1(x) y 1/f(x) son totalmente distintos.

EJEMPLO: Halle La Función inversa de f(X) = (2x+1)/  (x-3). Si existe

Y= 2x+1= f(x)                    dada

      x-3

x=2y+1= f(Y)                      se intercambia x y y

      y-3

PARA PODER OBTERNER UANFUNSION INVERSA, ES BNECESARIO QUE UNA X DADA CORRESPONDA EXACTAMENTE A UN SOLO VALOR DE Y.

  

XY-3X=2Y+1                 SE MULTIPLICA POR Y -3

XY-2Y= 1+3X                 SE TRASPONEY=

Y= 1+3X                       SE RESUÑVE PARA Y

      X-2

Ha  sido posible resolver para una y única siempre que x = 2. La función inversa es

f-1(X)=  3x+1 =                                si x =2

                             X-2

Notese en el ejemplo 2 que f-1(X) = (3+1)/(X-2), lo cual es diferente de 1 /f(X)=

(X-3)/(2X+1).