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¿QUE ES FUNCION LINEAL?

Dépendencia de una cantidad con respecto a otra.
las variables x y y estan relacionadas de tal modo que para cada valor admisible de x, le corresponde uno o mas valores de y, se dice  que y es una funcion de x.
los valores admisibles asignados a x es que en una relcion funcional dada, la variable independiente no puede tomar cualquier valor.

FUNCION LINEAL

  LA ECUACION

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones. esas expresiones se llaman miembros de la ecuacion.

por ejemplo, en la ecuacion

                                                     χ² +4 = 5x,

la  expresion χ² + 4 recibe el nombre del primer miembro y 5x se llama el segundo miembro.

concideremos 2 tipós de ecuaciones, la escuacion idéntica o identidad y la ecuacion condicional o ecuacion.

una ecuacion identica o identidad, es una igualdad en la cual ambos miembros son iguales para todos los valores de las variables para los cuales estan definidos los miembros. En una identidad el signo = se suele sustituir por el simbolo ≡, que se lee "identico a ". son ejemplos de identidades.

(1)         (a-b) ²  ≡  a² - 2ab + b²

(2)         x/ x-1  ≡  1 + 1/x-1.

la igualdad (1) es verdadera para todos los valores de a y b ; la (2) es valida para todos lo valores de x excepto 1.

uan ecuacion condicional, o simplemente una ecuacion, es una igualdad en la cual ambos miembros son iguales solamente para ciertos valores particulares de las  variables.Son ejemplos de ecuacion condicionales

 (3)          χ² -5x +4 = 0,

(4)           x + y = 5.

la igualdad (3) es verdadera solo para x = 1 y x = 4, y no lo es para ningun otro valor de x. la (4) es verdadera para un numero infinito de pares de valores de x y y, pero no para cualquier par de valores: por ejemplo, (4) es verdadera para x = 1, y = 4 y para x = 2, y y = 3, pero no lo es para x = 3, y = 3 ni para

x =4 y y = 2 etc.

en una ecuacion entran simbolos cuyos valores son conocidos o se suponen conocidos mientras que otros simbolos representan valores desconocidos o incognitas. por ejemplo en (3), x es una incognita, mientras que los numeros 4 y 5 son, por supuesto, conocidos; en (4), tanto x como y son incognitas variables, siendo 5 un numero conocido.

si la ecuacion se reduce a una identidad por ciertos valores asignados a las variables, se dice que la ecuacion se satisface para dichos valores.por ejemplo en la ecuacion (3) se satisface cuando se le asigna a x el valor 1, ya que la ecuacion se reduce entonces a la identidad 1-5+4=0.la ecuacion (4) se satisface para x = 1y y=4, ya que entonces se reduce  ala identidad 1+4 = 5.

  

NOTACION DE LAS FUNCIONES

Por conveniencia, hemos estado usando la letra y para representar una funcion de x.por ejemplo, en

y = 2x+5. sin embargo, tambien podemos usar el simbolo f (x) en lugar de y, escribiendo

                                                     y = f (x) = 2x+5,

en donde f (x) se lee "funcion f de x" o simplemente "f de x". Si deseamos expresar el valor de esta funcion cuando la variable independiente x tiene un valor particular, digamos a, entonces simplemente sustituimos x por a.Por ejemplo, para la funcion dada por la relacion (1) tenemos f(a) = 2a +5. análogamente, para la misma funcion , tenemos

                        f(0)=2(0) +5 = 5

                        f(-1) = 2 (-1) +5 = 3, etc.

en un problema particular f (x) representa una funcion determinada.

pero si en un mismo problema es necesario usar mas de una funcion entonces, para distinguirlas, recurriremos a diferentes letras tales como F(x),g(x) y   (x). por ejemplo, para distinguir la funcion (1) de otra funcion de x, como χ² + x - 1, podemos escribir

                                                         F(x) = χ² + x - 1.

tambien podemos entender est mismo simbolismo o notacion funcional a las funciones de varias variables.por ejemplo, si z =χ ² - xy +2 y², podemos escribir:

                                                          z= f(x,y) = χ ² + 2y²,

de donde        f(a,b) =  a² - ab +2 b²

                      f(y,x) = y² - yx + 2x²

                      f(2,3) = 2² - (2) (3) + 2(3)² = 16,etc

En la notacion de las funciones, si y es una funcion explicita de x, podemos escribir y = f (x) de donde pódemos obtener su funcion inversa y representarlas simbolicamente en la forma x = g(y).tambien si x y y son funciones implicitas una de otra, como relacion x + y - 5 = 0, podemos indicar esto en la notacion          F (x.y) = 0.

ECUACION LINEAL CON UNA INCOGNITA

  

Si la funcion lineal de una variable, se iguala a 0, tenemos la ecuacion de primer, o lineal, con una incognita:

(1)                                   ax + b = 0,                          a  ≠ 0,

en donde a y b son constantes arbitrarias.

Resolucion de la ecuacion, como primer paso para la resolucion de esta ecuacion transponemos b, al segundo miembro, obteniendo asi la ecuacion equivalente.

                                                 ax = -b.

despues dividimos ambos miembros entre a, obteniendo otra ecuacion equivalente que es la solucion de  la ecuacion dada:

                                              x= -b/a.

si esta valor de x se constituye en (1) obtendremos la identidad

                                              a (-b/a) - b = -b+b = 0

1° La ecuacion lineal con una incognita

                                        ax+b = 0,                         a ≠ 0

tiene la solucion inica   x = -b/a.

por tanto, para resolver una ecuacion de primer grado con una incognita se transponen, si es necesario, todos los terminos que contiene la incognita a un miembro de la ecuacion y todos los terminos conocidos al otro miembro de la ecuacion.

PROBLEMAS DE FUNCION LINEAL

  Ejemplo 1

cierto trabajo puede ser efectuado por a en 4 dias, y por b en 6 dias.¿cuanto tiempo necesitaran para hacer todo el trabajo juntos?

SOLUCION  sea x = numero necesario de dias 

entonces  1/x = parte del trabajo que pueden hacer ambos en un dia.

1/4 = parte del trabajo que puede hacer A  en un dia, 

1/6 = parte del trabajo que puede hacer B en un dia ,

Por lo tanto                                  1/x = 1/4 + 1/6

multiplicando por 12x , 12 = 3x + 2x, 

de donde  x = 12/5 = 2 2/5 dias. 

COMPROVACION

En 2 2/5 dias, la parte del trabajo hecha por A es 12/5*1/4 = 3/5, la parte hecha por B es 12/5 * 1/6 = 2/5; 

la suma de estas partes es 3/5+2/5 = 1, o sea, el trabajo completo. 

ECUACION LINEAL CON DOS VARIABLES O INCOGNITAS

La funcion lineal con dos variables se representan  por la expresion 

                                              ax+ by +c ,                           ab ≠ 0,

En donde a,b y c son constantes arbitrarias y la restriccion a b ≠ 0 significa que ni a ni b son iguales a 0.

Si esta funcion se hace igual a 0, tenemos la ecuacion de primer grado o lineal con dos variables o incognitas

(1)                                        ax + by + c = 0                       ab ≠ 0

Despejando primero y y despues x obtenemos las ecuaciones equivalentes

(2)                                        y= -a/b x -c/b                         b ≠ 0

(3)                                       x = -b/a y -c/a                          a ≠ 0

Cualquiera de estas tres ecuaciones tiene un numero infinito de soluciones. Tales ecuaciones se dice que son indeterminadas.

FUNCIONES INVERSAS

Si se tiene la  función f(x)=3x +1,0 f(4) se  halla por sustitución:

f(4)= 3(4) +1=13.

Dicho en otra forma, dado un valor de X se puede hallar un valor Y. Supóngase, sin embargo que se da un valor de y ¿puede hallarse el valor correspondiente de x? Con la función anterior, la respuesta es SI. En particular, si se da y= -5 simplemente se resuelve la ecuación

-5= 3x +1

-6=3x

-2=x

En esta sección se desea investigar el problema general de resolver y= f(X) para x.  Además esta sección se desea  que la solución sea un solo numero real x bien definido para cualquier y dada. En breve se dirá como hacer esto y cuando se puede hacer.

EJEMPLO:

Resuelva la ecuación y= f(X) = 3x +1 para x

SOLUCION

Se resuelve la ecuación para x

Y-1=3X

Y-1=  x

3

Al utilizar x y y como variables se acostumbra tomar  por la variable independiente.

Asi en el ejemplo 1 se pueden intercambiar x y y , dando finalmente por resultado la ecuación

x-1=  y

  3

Esa es la razón de ser del segundo paso en las reglas dadas a continuación para hallar la inversa de una función.

¿COMO HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCION?

A)     Y= F(x) ES DADA

B)      Se intercambian x y y para obtener x= f(Y)

C)      Se resuelva para y y la solución se escribe como y= f-1(x). A f-1 se le llama FUNCION INVERSA

Sustituyendo el valor  del enciso c) en la ecuación en el mismo b) se obtiene

X=f(Y) = f(f-1(X))

Más adelante se utilizara esta forma. No debe perderse de vista el hecho de que el -1 (X) no es un exponente; esto quiere decir que f-1(x) y 1/f(x) son totalmente distintos.

EJEMPLO: Halle La Función inversa de f(X) = (2x+1)/  (x-3). Si existe

Y= 2x+1= f(x)                    dada

      x-3

x=2y+1= f(Y)                      se intercambia x y y

      y-3

PARA PODER OBTERNER UANFUNSION INVERSA, ES BNECESARIO QUE UNA X DADA CORRESPONDA EXACTAMENTE A UN SOLO VALOR DE Y.

  

XY-3X=2Y+1                 SE MULTIPLICA POR Y -3

XY-2Y= 1+3X                 SE TRASPONEY=

Y= 1+3X                       SE RESUÑVE PARA Y

      X-2

Ha  sido posible resolver para una y única siempre que x = 2. La función inversa es

f-1(X)=  3x+1 =                                si x =2

                             X-2

Notese en el ejemplo 2 que f-1(X) = (3+1)/(X-2), lo cual es diferente de 1 /f(X)=

(X-3)/(2X+1).